THE REAL NUMBERS

2.1 The Algebraic Properties of R

2.1.1 Algebraic Properties of R

Pada himpunan R bilangan real terdapat dua operasi biner, dinotasikan dengan + dan · dan disebut penjumlahan dan perkalian. Operasi ini mengikuti properties :

(A1) a+b=b+a a,b Î R

(A2) (a+b)+c=a+(b+c) a,b,c Î R

(A3) Ada elemen 0 di R ® 0+a=a dan a+0=a a Î R

(A4) Untuk a di R terdapat elemen –a di R ® a + (-a) =0 dan

(-a)+a=0 a Î R

(M1) a·b=b·a a,b Î R

(M2) (a·b) ·c=a· (b·c) a,b,c Î R

(M3) Ada elemen 1 di R ® 1·a=a dan a·1=a a Î R

(M4) Untuk a¹0 di R terdapat elemen 1/a di R 1/a·a=1 dan

a·1/a=1 a Î R

(D) a·(b+c) =(a·b)+ (a·c) dan (b+c) ·a =( b · a)+ (c · a)

a,b,c Î R

2.1.2 Theorema

(a) Jika a,z Î R ® z+a=a, maka z=0

(b) Jika u dan b¹0 Î R ® u·b=b, maka u=1

2.1.3 Theorema

(a) Jika a,b Î R ® a+b=0, maka b= -a

(b) Jika a¹0 dan Î R ® a·b=1, maka b=1/a

2.1.4 Theorema

(a) persamaan a+x=b mempunyai satu penyelesaian x=(-a)+b

(b) Jika a¹0, persamaan a·x=b mempunyai solusi tunggal x=(1/a)·b

2.1.5 Theorema

(a) a · 0 = 0

(b) –(-a) = a

(c) (-1) · a = -a

(d) (-1) · (-1) = 1

2.1.6 Theorema

Jika a,b,c Î R

(a) Jika a¹0, maka 1/a¹0 dan 1/(1/a)=a

(b) Jika a·b=a·c dan a¹0, maka b = c

(c) Jika a·b=0, maka terdapat a=0 atau b=0

2.1.7 Theorema

Tidak terdapat sebuah bilangan rasional r ® r2 = 2

2.2 The Algebraic Properties of R

2.2.1 The Order Propertis of R

Terdapat himpunan bagian tidak kosong P di R, disebut himpunan bilangan real positif, yang mengikuti aturan:

(i) Jika a,b Î P, maka a+b Î P

(ii) Jika a,b Î P, maka a·b Î P

(iii) Jika a Î R, maka terdapat satu yang pati mengikuti aturan:

a Î P, a = 0, a Î P

(Trikotomi)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: