Teori Geometri Affin

I. PENGANTAR

Geometri insidensi disebut geometri Affin jika memenuhi postulat berikut:

POSTULAT E. Jika titik A tidak terletak pada garis l maka terdapat satu dan hanya satu garis m dimana m memuat A dan m êê l.

Geometri Affin meliputi sifat-sifat kesejajaran garis dan bidang yang ada pada geometri bidang dan ruang Euclide. Pada geometri Affin yang digunakan hanyalah postulat-postulat geometri Insidensi dan postulat E.

II. GARIS-GARIS TRANSVERSAL

Jika garis l, m sebidang maka akan memenuhi satu dari tiga kemungkinan yaitu:

(1) l êê m (2) l = m (3) l êê m dan l = m

Pada kasus yang ketiga l dan m berpotongan dan berbeda. Berhubungan dengan hal di atas, kita memerlukan defenisi berikut:

DEFENISI. Garis l dikatakan transversal dengan garis m, atau garis l transversal dari m, atau l dan m transversal, ditulis l tr m, jika l berpotongan dengan m dan l = m.

Sebagai akibat dari defenisi tersebut dapat kita kemukakan sifat sebagai berikut:

a) l tr m jika dan hanya jika irisan dari l dan m adalah sebuah titik.

b) Jika l dan m sebidang, maka:

(i) l êê m (ii) l tr m (iii) l = m

Hubungan antara kesejajaran dan ketransversalan ini dituangkan dalam teorema berikut:

Teorema 2:

Pada sebuah bidang apabila sebuah garis transversal dengan satu dari dua garis sejajar, maka akan transversal dengan garis yang lainnya.

n

A l

m

Pernyataan : Jika l, m, n termuat pada bidang P, l êê m, n tr l, maka n tr m.

Bukti :

Misal A Î l Ç m. Andai n tidak transversal m, maka n = m atau n êê m.

Jika n = m maka l êê n ( berkebalikan dengan ada A Î l Ç m ) sehingga n = m.

Jika n êê m maka ada dua garis berbeda yaitu l dan n yang masing-masing memuat A dan sejajar dengan m. Ini kontradiksi dengan postulat E maka n êê m.

Jadi pengandaian n tidak transversal m adalah salah, dan seharusnya n tr m.

III. GARIS TRANSVERSAL BIDANG

DEFENISI. Jika garis l dan bidang P tidak mempunyai titik persekutuan, kita sebut l sejajar dengan P atau P sejajar dengan l, dan ditulis l êê P atau P êê l. Kita sebut l transversal P, atau P transversal l, ditulis l tr P, atau P tr l, jika irisan l dan P adalah sebuah titik.

Jadi untuk l, P berlaku :

(1) l êê P (ii) l tr P (iii) l terletak pada P

Teorema 3.

Sebuah bidang transversal dengan salah satu dari dua garis sejajar maka akan transversal dengan garis lainnya.

Q

l m

P

n

A B

Pernyataan: Jika l êê m, P tr l, maka P tr m.

Bukti:

Misal A Î P Ç l, ada Q yang memuat l dan m (defenisi kesejajaran).

Q = P (defenisi P tr l)

A Î l dan l termuat pada Q sehingga A Î Q. Jadi A Î (P Ç Q).

n = (P Ç Q), dengan A Î n.

Andai n = l, berarti l termuat di P, kontradiksi dengan P tr l. Jadi n = l.

Sehingga n tr l (defenisi garis transversal).

Jika l, m, n termuat pada Q maka n tr m (teorema 2)

Misal B Î n Ç m, maka B termuat di P dan B Î P Ç m.

Andai ada selain B yaitu C dimana C Î P Ç m, maka m termuat di P (postulat I.5)

Karena m termuat juga dalam Q maka m = (P Ç Q), sehingga m = n.

Ini kontradiksi dengan n tr m. Jadi pengandaian salah dan hanya ada satu titik persekutuan m dan P yaitu B. Sehingga P lint m (defenisi transversal).

Corollary 1:

Jika l êê m dan P tidak tr l, maka P tidak tr m

Bukti:

Andaikan P tr m maka P tr l (teorema 3). Kontradiksi dengan P tidak tr l. Sehingga pengandaian salah, haruslah P tidak tr m.

Corollary 2:

Jika l êê m dan P êê l, maka P êê m atau P memuat m

Bukti:

P êê l mengakibatkan P tidak tr l. Sehingga P tidak tr m (corollary 1). Maka kemungkinannya adalah P êê m atau P memuat m.

Corollary 3:

Jika l êê m dan P memuat l, maka P memuat m atau P êê m

Bukti:

Jika P memuat l berarti P tidak tr l. Sehingga P tidak tr m (corollary 1). Maka kemungkinannya adalah P memuat m atau P êê m.

Corollary 4: (Pernyataan ulang dari corollary 3)

Jika sebuah bidang memuat satu dari dua garis yang sejajar dan tidak pada garis lainnya, maka bidang tersebut sejajar dengan garis lainnya. Ekivalen dengan jika sebuah garis sejajar dengan garis yang terletak pada suatu bidang dan bukan pada dirinya sendiri, maka garis tersebut sejajar dengan bidang.

Teorema 4:

Sebuah garis transversal dengan satu dari dua bidang yang sejajar maka akan transversal dengan bidang yang lainnya.

m l

P

Q A

Pernyataan:

Jika P êê Q, l tr P, maka l tr Q.

Bukti:

Misal ada A Î Q dan A Ï l maka ada m memuat A dan m êê l (postulat E).

Sehingga m tr P (teorema 3).

Karena A Î m Ç Q maka m êê Q. …. (1)

Karena m berpotongan dengan P dan P êê Q maka m tidak termuat dalam Q. …. (2)

Dari (1) dan (2), m tr Q.

Karena m êê l maka l tr Q (teorema 3).

Corollary 1:

Jika P êê Q dan l tidak tr P, maka l tidak tr Q.

Bukti:

Andai l tr Q maka l tr P (teorema 4). Kontradiksi dengan l tidak tr P. Pengandaian salah, haruskah l tidak tr Q.

Corollary 2:

Jika P êê Q dan l êê P, maka l êêQ atau l termuat di Q.

Bukti:

l êê P berarti l tidak tr P. Dengan corollary 1, l tidak tr Q. Maka kemungkinannya adalah l êêQ atau l termuat di Q.

IV. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASANNYA

1. Buktikan: pada sebuah bidang, jika l = m, dan setiap garis yang transversal dengan l adalah transversal juga dengan m, maka l // m.

Penyelesaian:

Pernyataan: l = m, k tr l, k tr m, maka l // m.

k

A l

B m

P

Bukti:

k tr l berarti k = l dan A Î (k Ç l)

k tr m berarti k = m dan B Î (k Ç m)

Menurut postulat E, jika ada titik B Ï l maka ada satu garis yaitu m memuat B dan l // m

Misal ada garis lain selain k, yaitu n dimana n tr l dan n tr m

k n

A C l

B D m

P

n tr l berarti n = l dan C Î (n Ç l)

n tr m berarti n = m dan D Î (n Ç m)

Menurut postulat E, jika ada titik D Ï l maka ada satu garis yaitu m memuat D dan l // m

Jadi, terbukti pada sebuah bidang, jika l = m, dan setiap garis yang transversal dengan l adalah transversal juga dengan m, maka l // m.

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: